Introduction
Ce module propose des outils pour analyser une séance de mathématiques en général et des séances ou des moments de séances portant sur la résolution de problèmes.
Il comporte cinq parties qui peuvent être traitées indépendamment, toutefois l'ensemble constitue une progression abordant plusieurs moments jugés cruciaux dans la conduite d'une séance de mathématiques.
La première partie comporte la présentation d'une grille d'analyse de séance filmée
La deuxième partie porte sur l'analyse d'un moment de synthèse d'une séance de mathématique portant sur la résolution d'un problème conduit par un professeur. Il s'agit d'analyser comment sont traitées les productions et notamment les erreurs des élèves.
La troisième partie présente un scénario de séance de correction / remédiation portant sur la résolution d'un problème de proportionnalité qui a été auparavant posé dans cette classe (voir module 1 de résolution de problèmes élémentaires)
La quatrième partie est consacrée à l'analyse de la prescription d'une tâche de résolution de problème (problème de proportionnalité ci-dessus) par une professeure de 6e ayant pris connaissance du scénario ci-dessus
Enfin la cinquième partie porte sur l'analyse du moment d'exposé et de synthèse des productions des élèves de la classe et leur traitement par la professeure.
Objectif de la formation
Plénière (5min.)
Mobiliser des outils et un questionnement dans le but d'analyser les principaux moments d'une séance de mathématiques
Prendre connaissance et s'approprier une grille d'analyse didactique d'une séance de mathématiques
Prendre conscience de la nécessité de mettre en œuvre une analyse a priori d'une situation afin de l'observer et de l'analyser
Prendre conscience de la nécessité de traiter les erreurs des élèves
Prendre conscience de la nécessiter d'analyser les différentes productions des élèves afin de les hiérarchiser et d'institutionnaliser les savoirs visés par l'enseignement.
Phase 1 - Présentation et étude d'une grille d'analyse d'une séance filmée⚓
Activité 1 - Recueil des représentations⚓
Méthode : Travail de groupe (20 min.)
Le document 1 propose une grille d'analyse d'une séance filmée d'analyse
Consigne
Analyser cette grille en précisant
L'organisation adoptée pour renseigner les trois entrées adoptées pour mener l'observation et l'analyse
Les principaux moments de la séance observée
Les termes processus de dévolution, processus d'institutionnalisation (voir texte introductif et bibliographie
Méthode : Plénière (20 min.)
Consigne
Echangez sur cette organisation
Complément :
Il est possible de faire ce travail au tableau noir si pas de projecteur
Phase 2 – Analyse d'un traitement des erreurs⚓
Activité 2 - Analyse du traitement des erreurs⚓
Méthode : Travail en groupe (35 min.)
Consigne
Prendre connaissance du document 2 et essayez de renseigner la partie « explicitation des procédures des élèves, synthèse et institutionnalisation » de la grille d'analyse en visionnant le document n°3 (vidéo)
Complément : Vidéo de la séance
Phase 3 – Analyse d'un scénario d'une séance de correction/remédiation⚓
Activité 3 - Analyse d'un scénario⚓
Méthode : Travail de groupe puis plénière (20 min.)
Le document n°5 propose les performances et productions des élèves de la circonscription de Casamance du moyen à un test portant sur la résolution de problème élémentaires.
Consigne
Lisez ce document. Commentez les résultats des élèves à l'exercice 5 du test 2.
Test 2 collège
Présentation des énoncés, des choix des élèves et des pourcentages de réussite
Comme précédemment nous présentons dans le tableau ci-dessous et dans les graphiques 7 et 8 ci-dessous les énoncés des problèmes, les choix effectués par les élèves et les pourcentages de réussites à chaque exercice.
L'analyse porte sur un échantillon de 98 élèves du moyen. Nous avons fait l'hypothèse que le choix de l'exercice par un élève est fondé sur l'estimation de ses chances de le réussir. Dans ce cas les élèves pensent que les exercices sont plus accessibles dans l'ordre suivant : exercice1, exercice2, exercice3, exercice4, exercice 6 et exercice5 (Cf. graphique N°7). Mais il ne faut exclure, comme nous l'avons déjà souligné, le fait que les élèves ne sont pas habitués à faire des choix d'exercices sur une liste proposée par le professeur. En fait, ils ont l'habitude de traiter les exercices dans leur ordre de présentation. Toutefois, le niveau de réussite des exercices qui semble en relation avec les choix effectués nous laissent penser que les élèves ont reconnu pour une part au moins les exercices les plus faciles selon eux à résoudre. Ainsi les exercices les plus choisis sont les mieux réussis, sauf pour les exercices 3 et 4.
Exercices | Énoncé | Types | Taux de réussite |
|---|---|---|---|
Exercice 1 | Il y a 5 fois plus de chaises à la cantine que dans la classe. Il y en a 25 dans la classe. Combien y a-t-il de chaises dans la cantine ? | Comparaison multiplicative d'états, recherche d'un état connaissant l'autre et la comparaison, multiplication (25 x 5 = 125), domaine des entiers | 82,7% |
Exercice 2 | Pour visiter le parc de Niokolocoba, un touriste a parcouru 57 km. Il lui reste 215 km à faire avant d'arriver. Quelle distance totale doit-t-il parcourir ? | Partie-partie-tout, détermination du tout connaissant les parties, domaine de entiers naturels, contexte de la mesure de grandeurs (longueur), addition : (57 + 215 = 272) | 72,9% |
Exercice 3 | Une mère de famille est revenue du marché avec un sac qui pèse 15 kg. Le sac vide pèse 1 kg et il y a dedans 5 kg de pommes de terre, 3 kg de carottes, 2kg de navets, 2 kg de choux et aussi des oranges. Combien les oranges pèsent- elles ? | Partie-partie-tout, recherche d'une parties connaissant le tout et les 5 autres parties, domaine des entiers, addition et/ou soustraction ( 15 – 1 – 5 – 3 – 2 – 2 = 2) | 1,4 % |
Exercice 4 | On estime qu'un sénégalais consomme en moyenne 94 g de sucre par jour. La population sénégalaise est environ de 14 millions d'habitants (14 000 000 d'habitants). Quelle est la consommation annuelle de sucre en kg de toute la population ? | Multiplication (proportionnalité simple), domaine des entiers naturels (grands nombres), contexte de la mesure des masses avec conversion, multiplication (14 000 000 x 94 = 1 316 000 000 ; 1 316 000) | 3,5% |
Exercice 5 | Un élève parcourt 3 km en 20 minutes pour se rendre à son école. Combien mettra-t-il de temps pour parcourir 4,5 km ? | Proportionnalité simple, contexte de la mesure des grandeurs (distance, durée, vitesse) (3 km en 20 min ; 1,5 km en 10 min et 4,5 km en 30 min) | 1% |
Exercice 6 | Dans mon école, il y a 5 élèves de plus dans la classe de Monsieur Bâ que dans celle de Madame Ndiaye. Il y a 23 élèves dans notre classe ; cela fait 3 élèves de moins que dans la classe de Monsieur Bâ. Combien y a-t-il d'élèves dans la classe de Madame Ndiaye ? | Composée de comparaison additives d'états ; recherche d'un état connaissant les comparaisons (classe de Mme Ndiaye, à voir selon la lecture), 23 + 3 - 5 = 21, domaine des entiers naturels | 47% |
Plus de la moitié des élèves ont échoué aux exercices 3, 4, 5 et 6. Les exercices les moins réussis sont les exercices 5 et 4.
L'exercice 5 porte sur la composition de transformations additives (négatives), recherche de l'état initial, domaine des entiers. Or selon Vergnaud[*], les problèmes de transformation sont plus difficiles lorsque la question porte sur l'état initial qu'il qualifie de "donnée abstraite à produire". Il faut ajouter à cette difficulté la recherche de la composition des transformations qui est un autre type encore plus difficile.
L'exercice 4 quant à lui porte sur la division et soustraction, recherche d'une dimension connaissant le périmètre et une dimension, domaine des nombres entiers mais du type de partie/tout avec une première recherche du tout qui est le demi-périmètre. La plupart des élèves s'engagent directement dans la recherche de la largeur.
Les exercices réussis sont les exercices :
Exercice 1 : comparaison multiplicative d'états, recherche d'un état connaissant l'autre et la comparaison, multiplication (25 x 5 = 125), domaine des entiers
Exercice2 : partie-partie-tout, détermination du tout connaissant les parties, domaine de entiers naturels, contexte de la mesure de grandeurs (longueur), addition : (57 + 215 = 272)
Ces exercices sont des exercices classiques dont les contextes sont très familiers aux élèves et l'ordre de grandeur des nombres est faible. Ces exercices portant aussi sur des nombres entiers naturels qui sont abordés dès le CE1 à ne devrait pas poser de difficulté à un élève de 6e.
Rappel : Les erreurs commises
Le graphique 10 ci-dessous présente les pourcentages d'erreurs effectués par les élèves .
Nous avons pris en compte et codé plusieurs types d'erreurs :
AS : confusion entre addition et soustraction
MD : confusion entre multiplication et division
AM : confusion entre structures additives et structures multiplicatives
ECALC : erreur de calcul (mauvaise maîtrise de la technique opératoire)
Autres : Autre type d'erreurs
Les élèves commettent le plus souvent des erreurs relevant d'une confusion entre structures additives et multiplicatives. Ce type d'erreurs représente plus de 79% des erreurs commises dans chaque exercice. Il est à noter qu'il existe beaucoup d'erreurs de calculs au niveau de l'exercice 2 (addition de nombres entiers : nombre à 2 chiffres et 3 chiffres). La difficulté des élèves semble être d'effectuer un calcul posé en additionnant avec le nombre ayant moins de chiffres (au-dessus) celui comportant le moins de chiffres (en-dessous).
Quelques confusions entre la multiplication et la division sont commises au niveau de l'exercice 5 portant sur la proportionnalité et au niveau de l'exercice 3 qui est un exercice de partie/partie/tout, dont la difficulté majeure est la spécification des parties et leur nombre (données parasitant la compréhension).
La plupart des opérations sont posées et le seul contrôle est le contrôle sémantique.
synthèse
Dans l'ensemble, les élèves du moyen n'ont pas réussi les deux tests. Seuls les exercices 1 et 2 du test 2 sont réussis par plus de la moitié des élèves (resp. 82,7% et 72,7 %), l’exercice 6 par 47% des élèves. Les neuf autres exercices sont échoués par plus de 70% des élèves.
Ces exercices font intervenir pour la plupart deux opérations, Il semble donc que les élèves de 6e et 5e du collège ne savent pas résoudre des problèmes élémentaires à deux opérations. Par ailleurs, les exercices les plus mal réussis : l'exercice 5 du test 2 et l'exercice 6 du test 1 portent sur la proportionnalité. Cela peut s'expliquer par le fait que l'enseignement/apprentissage de cette notion met plus l'accent sur la mécanique opératoire que sur la compréhension de la notion elle-même, à l'élémentaire. C'est au niveau du moyen que la proportionnalité est vue comme objet d'enseignement mais là aussi, l'arbre cache la forêt car les professeurs mettent davantage l'accent sur l'algorithme permettant le remplissage de tableaux de proportionnalité que sur la notion proprement dite.
En conclusion, il nous semble qu'il est temps de revoir notre façon d'accompagner les élèves dans la résolution de problèmes car si les élèves ne savent pas résoudre les problèmes élémentaires, il leur sera impossible de résoudre des problèmes complexes. Voilà, entre autres arguments, ce qui pourrait être à la base des difficultés rencontrées par nos enseignants dans la gestion des activités de résolution de problèmes.
Méthode : Travail de groupe puis plénière (25 min.)
le document n°6 présente un scénario de correction/remédiation du problème de proportionnalité.
Consigne
Dégagez les principales phases du scénario et commentez-les en vous référant à la grille d'analyse (colonne activité notamment) et aux performances et productions des élèves présentées dans le document 5
Phase 4 – Analyse de la prescription de la tâche, processus de dévolution⚓
Activité 4 - Analyse de la prescription de la tâche⚓
Méthode : Travail individuel puis en groupe (15 min.)
Consigne
Renseignez la partie de grille d'analyse relative à la prescription de la tâche après avoir visionné le document n°7 (vidéo)
Rédigez par groupe une synthèse de vos analyses
Méthode : Plénière (15min.)
Consigne
Confrontez vos productions, les mettre en relation avec le document n°8 et le scénario présenté ci-dessus
Document n°8 : analyse de la prescription de la tâche
La professeure conformément au scénario étudié précédemment dévolue la tâche aux élèves par étapes. Toutefois elle procède systématiquement par une maïeutique du type jeu de questions/réponses qui se réduit parfois voire souvent pour les élèves à compléter les phrases qu'elle amorce.
Première étape, prise de connaissance de l'énoncé : lecture silencieuse et individuelle du texte suivi de deux lectures à haute voix par des élèves différents et d'une lecture à haute voix de sa part.
Deuxième étape, explicitation de la question, de la donnée à chercher : les élèves doivent trouver ce que l'on doit chercher. Elle précise la nature de la grandeur en jeu : calcul d'une durée.
Troisième étape, explicitation des données du problème : La professeur demande quelles sont les données connues figurant dans l'énoncé. Les élèves apportent les réponses attendues.
Toutefois, elle complète le scénario initialement prévu par deux demandes d'explicitation.
La première consiste à faire énoncer aux élèves une donnée manquante : « Est-ce qu'il y a une donnée manquante ?». Cette question peut privilégier la recherche du coefficient de proportionnalité, c'est-à-dire ici le temps mis pour parcourir 1km. On peut interpréter de deux façons au moins cette adaptation : volonté d'induire une démarche conforme aux programmes de 6e ou bien volonté d'aider les élèves qui ne seraient pas capables d' amorcer une démarche de résolution.
La seconde adaptation porte sur une demande de mise en relation des données connues et à chercher : 3km/20min et 4,5 km/temps à déterminer. De même deux interprétations sont possibles : volonté d'aider les élèves jugés peu capables de faire cette association par eux-mêmes ou bien traduction orale des schémas prévus dans le scénario initial (schémas qui ne sauront jamais montrés aux élèves).
Quatrième étape, estimation du résultat : La professeure demande une estimation du résultat et réfute une proposition d'élève (40min) en demandant une justification de cette réfutation. Celle-ci est d'ailleurs fournie par une élève qui mobilise à cette occasion une propriété de linéarité de la fonction linéaire sous-jacente à la situation (40 min cela correspond à 6 km car c'est le double de 3km).
Phase 5 – Exposé et synthèse des productions des élèves, processus d'institutionnalisation⚓
Activité 5 - Analyse de la prescription de la tâche⚓
Méthode : Travail individuel puis en groupe (35 min.)
Consigne
Renseigner la partie de la grille correspondant à l'explicitation des productions des élèves, à la synthèse et l'institutionnalisation après avoir visionné le document n°9 (vidéo), le document présentant des productions d'élèves élaborées lors de la phase de recherche du problème
Rédiger par groupe une synthèse de vos analyses
Consigne
Rédigez vos analyses dans la zone de saisie ci-dessous
Document n°8 : analyse de la prescription de la tâche
La professeure conformément au scénario étudié précédemment dévolue la tâche aux élèves par étapes. Toutefois elle procède systématiquement par une maïeutique du type jeu de questions/réponses qui se réduit parfois voire souvent pour les élèves à compléter les phrases qu'elle amorce.
Première étape, prise de connaissance de l'énoncé : lecture silencieuse et individuelle du texte suivi de deux lectures à haute voix par des élèves différents et d'une lecture à haute voix de sa part.
Deuxième étape, explicitation de la question, de la donnée à chercher : les élèves doivent trouver ce que l'on doit chercher. Elle précise la nature de la grandeur en jeu : calcul d'une durée.
Troisième étape, explicitation des données du problème : La professeur demande quelles sont les données connues figurant dans l'énoncé. Les élèves apportent les réponses attendues.
Toutefois, elle complète le scénario initialement prévu par deux demandes d'explicitation.
La première consiste à faire énoncer aux élèves une donnée manquante : « Est-ce qu'il y a une donnée manquante ?». Cette question peut privilégier la recherche du coefficient de proportionnalité, c'est-à-dire ici le temps mis pour parcourir 1km. On peut interpréter de deux façons au moins cette adaptation : volonté d'induire une démarche conforme aux programmes de 6e ou bien volonté d'aider les élèves qui ne seraient pas capables d' amorcer une démarche de résolution.
La seconde adaptation porte sur une demande de mise en relation des données connues et à chercher : 3km/20min et 4,5 km/temps à déterminer. De même deux interprétations sont possibles : volonté d'aider les élèves jugés peu capables de faire cette association par eux-mêmes ou bien traduction orale des schémas prévus dans le scénario initial (schémas qui ne sauront jamais montrés aux élèves).
Quatrième étape, estimation du résultat : La professeure demande une estimation du résultat et réfute une proposition d'élève (40min) en demandant une justification de cette réfutation. Celle-ci est d'ailleurs fournie par une élève qui mobilise à cette occasion une propriété de linéarité de la fonction linéaire sous-jacente à la situation (40 min cela correspond à 6 km car c'est le double de 3km).
Méthode : Plénière (25 min.)
Consigne
Confrontez vos productions, les mettre en relation avec le document n°8 et le scénario présenté ci-dessus
Vous pouvez anoter vos productions dans la zone saisie ci-dessous
BIBLIOGRAPHIE ET SITOGRAPHIE⚓
BIBLIOGRAPHIE
BROUSSEAU G., (1987), « Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques », Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 7/2, 33-116, Grenoble, La Pensée Sauvage
BROUSSEAU G. (2010), Glossaire de didactique des mathématiques, à consulter en ligne sur le site www.guy-brousseau.com/biographie/glossaires
BUTLEN D., MASSELOT P., Ateliers d'analyse de pratiques professionnelles en formation initiale, In COPIRELEM, Documents pour la formation des professeurs des écoles en didactique des mathématiques, Tome V, 95-108, ARPEME, Paris, à consulter sur le site www.arpeme.fr
BUTLEN D (2007), Glossaire, In Butlen D. Le calcul mental, entre sens et techniques, Presses universitaires de Franche Comté, Besançon.
COPIRELEM (2002) Concertum, 10 ans de formation des professeurs des écoles en mathématiques, tome 2, ARPEME, Paris
MENER (2016), Résoudre des problèmes de proportionnalité : documents ressources du MENER,http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Proportionnalite_/09/2/RA16_C4_MATH_RESOU_PROPO_555092.pdf
Résoudre des problèmes de proportionnalité au cycle 3 : documents ressources du MENER, http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Proportionnalite/95/5/RA16_C3_MATH_doc_maitre_proport_N.D_576955.pdf
HOUDEMENT C. (2015) Problèmes arithmétiques de réinvestissement - Une synthèse, des pistes, In COPIRELEM, Actes du XLIIème colloque COPIRELEM Besançon 2015, ARPEME, Paris
SITOGRAPHIE
Site de l'ARPEME/ COPIRELEM, www.arpeme.fr,
Site de ressources pour l'enseignement du Ministère de l'Enseignement Et de la Recherche (français), www.eduscol.education.fr,
Site des Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques, Le portail des IREM, www.univ-irem.fr,
Site de BROUSSEAU Guy, www.guy-brousseau.com,
Remerciements⚓
Le projet remercie tout particulièrement :
L'expert international : David Butlen, Didacticien des mathématiques - professeur d'Université à Cergy-Pontoise
L'expert national : Mangary Ka, FASTEF UCAD
L'expert local : Landing Diemé, CRFPE Ziguinchor
Et toutes les personnes qui ont participé à la conception de ce module notamment :
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